バナッハ＝タルスキーのパラドックス

バナッハ＝タルスキーのパラドックス (Banach-Tarski paradox) は、球を3次元空間内で、有限個の部分に分割し、それらを回転・平行移動操作のみを使ってうまく組み替えることで、元の球と同じ半径の球を2つ作ることができるという定理（ただし、各断片は通常の意味で体積を定義できない）。この操作を行うために球を最低5つに分割する必要がある。バナッハ＝タルスキーの証明では、ハウスドルフのパラドックスが援用され、その後、多くの人により証明の最適化、様々な空間への拡張が行われた。結果が直観に反することから、定理であるが、パラドックスと呼ばれる。証明の1箇所で選択公理を使う。ステファン・バナフ（バナッハ）とアルフレト・タルスキが1924年に初めてこの定理を述べたときに選択公理を肯定的にとらえていたか、否定的にとらえていたか、判断することは難しい。（彼らは、「この研究に対する選択公理の果たす役割は、注目するに値する。」(Le rôle que joue cet axiome dans nos raisonnements nous semble mériter l'attention.)としか述べていないのである。）この定理は次のように述べることも出来る。* 球は、それ自身と同じ球二つと分割合同である。ただし、分割合同とは以下のように定義される:A と B をユークリッド空間の部分集合とする。A と B が有限個の互いに交わらない部分集合の合併として:<math>A=\\bigcup_^n A_i,\\quad B=\\bigcup_^n B_i</math> つまり、: A = A₁ &cup; ... &cup; A_n , B = B₁ &cup; ... &cup; B_nと表すことができ、全ての i について、<math>A_i</math> と <math>B_i</math> が合同であるとき、A と B を分割合同という。さらに、この定理から次のより強い形の系を導くことが出来る。* 3次元ユークリッド空間の有界な部分集合で、内部が空でないもの(つまり、有限の拡がりを持ち、曲線や曲面ではないもの)を任意に二つ選んだとすると