拡散方程式

拡散方程式（かくさんほうていしき、diffusion equation）は拡散が生じている物質あるいは物理量（本稿では拡散物質と記述）の密度のゆらぎを記述する偏微分方程式である。集団遺伝学における対立遺伝子の拡散のように、拡散と同様の振る舞いをする現象を記述するのにも用いられる。伝熱の分野で熱伝導を記述する方程式は熱伝導方程式（）と呼ばれる。方程式は一般に以下のように書かれる。:<math>\\frac = \\nabla \\cdot \\bigg( D(\\phi,\\vec,t) \\, \\nabla\\phi(\\vec,t) \\bigg) </math>ただし、<math>\\vec</math>は位置、<math>t</math>は時刻、<math>\\, \\phi(\\vec,t)</math> は拡散物質の 密度、 <math> D(\\phi,\\vec,t)</math> は拡散係数（2階のテンソル量）、ナブラ <math>\\, \\nabla</math> は空間微分作用素である。拡散係数<math>D</math> が定数ならば、方程式は以下の線形方程式に帰着される。:<math>\\frac = D\\nabla^2\\phi(\\vec,t) </math>D が他の変数に依存する場合方程式は非線形となる。さらに、D が正定値対称行列であれば方程式は異方的拡散となる。