冪集合公理

数学における冪集合公理（べきしゅうごうこうり、axiom of power set）とは、公理的集合論のの一つである。ツェルメロ＝フレンケルの公理系の形式言語において、この公理は次のように記述される：:<math>\\forall A \\, \\exists P \\, \\forall B \\, [B \\in P \\iff \\forall C \\, (C \\in B \\Rightarrow C \\in A)]</math>ここで P は A の冪集合 <math>\\mathcal(A)</math> を表す。この公理を通常の言葉で言い直すと、次のようになる：:任意の集合 A が与えられたとき、任意の集合 B が <math>\\mathcal(A)</math> に属するようなある集合 <math>\\mathcal(A)</math> が存在するための必要十分条件は、B のすべての元が A の元でもあることである。部分集合関係は公理的に定義されるため、形式言語において部分集合は用いられない。実際、公理はお互い独立なものでなければならない。外延性公理により、上記の集合は一意であり、このことはすべての集合に冪集合が存在することを意味する。冪集合公理は集合論のほとんどの公理化において現れる。それは一般に問題を生じさせるものではないが、においては可術性（predicativity）に関する懸念を解消するためにより弱いバージョンの冪集合公理が好まれている。